09 metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial

STATISTIK/PROBABILITAS

NAMA     : AFRIYANTI

NPM         : 17 630 103

Tugas9 :STATISTIK/PROBABILITAS

Metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan differensial

Salah satu carautk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan mengguna kanmetode beda hingga atau yg lbhdikenal dgn finite difference method. Metode inimenggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supayagaklupa, penurunannyasayaberikan di sini.

Forward difference

Utk forward difference, kita ingin mencari nila isuatu fungsi jika independent variablenya digeserkedepan (makan yanamanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliska nsbb:

Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digesersebesar ∆x. Sementa  rasymbol ∂²f/∂x² menunjukkan lengkungan (curvature) darititik f(x) tsbjika x digesersebesar ∆x.

Oleh karena nilai setelah term pertama di atas tidak signifika ndibandingkandgn term kedua, makabisakitabilangklo:

Hubungan di atasmenunjukkankemiringan (gradient) darifungsitsbsebesar ∆x kedepan (lbhbesardari x).

            Backward difference

Pertanyaanygsamajgkitaberikanutk backward difference. Jikakitatahu f(x), makaberapakah f(x-∆x)?Atauberapakahnilaifungsitsbjika independent variablenyadigeserkebelakangsebesar ∆x. Ekspansi Taylor dituliskansbb:

 

Hubunganterakhirinimenunjukkankemiringan (gradient) darifungsitsbsebesar ∆x kebelakang (lbhkecildari x).

            Central difference

Jenisbedarketigaadalahbedatengah, di manakitaakanmencarikemiringandarifungsitsbdgnmenggunakanperbedaannilaifungsinyadaribedadepandanbedabelakang. Secaramatematis, bedatengahadalahpenjumlahandaribedadepandanbedabelakang.

Second order derivation

Setelahpendekatanordesatubisakitaturunkanspt di atas, skrgkitabisamenurunkanpersamaanutkpendekatanordedua.Penurunan di bawahinisayamulaidarimengambilpersamaanordesatudaribedadepan (forward difference) ygmengandungpenurunanordedua (second order differential). Fungsi ∂²f/∂x²saya keluarkan, danpersamaanutk ∂f/∂x nyasayaambildaripendekatanbedabelakang (backward difference).

Denganadanyaduapendekatan (ordesatudanordedua) ini, kitabisabekerjadgncontohberikut:

Penyelesaiananalitiknyaadalahsbb:

Kondisibatasygkitaketahuiadalahsbb:

upada r = 2 atau u(2) = 0.008

u(6.5) = 0.003

Ygditanyakanadalahberapanilai u di antarakeduanilaibatas di atas.

Denganmetodebedahinggaini, kitaakanmembuat node2. Katakanlahkitabuat 4 node. Node ygpertamaadalahsaatu(2), dan node ygkeempatadalah u(6.5). 4 node ygkitapilihterdiriatas 3 rentang, yaknirentang node 1-2, rentang node 2-3, danrentang node 3-4. Jarakrentangtsbadalah (6.5-2)/3 = 1.5.Maka, node 2 adalah 2+1.5 = 3.5.Node 3 adalah 3.5+1.5 =5.Ygskrginginkitaketahuitentunyaadalahnilai u padasaat r = 3.5 atauu(3.5) dan u(5).

Utkygpertamaini, kitaakangunakanpendekatanbedamajuutkordesatu. Denganmemasukkanpendekatanygudahkitaturunkankepersamaandiferensial di atas, kitadapat:

, dgn i = node.

Persamaaninikitautak-atikutkmendapatkanpenyelesaianutku_i, sehinggakitabisamenyusunpersamaanutk u₂ dan u₃.Sementara u₁ dan u₄ sudahkitaketahuisebagaikondisibatas.Klosayaselesaikan di excel, akandidapatsbb:

Perbandinganhasilpendekataninidenganhasilanalitiknyamenghasilkan error sebesar 6.66% utk u₂ atauu(3.5) dan error sebesar 5.12% utk u₃ atau u(5).

Jikasayagunakanbedatengahutkpendekatanordesatu, akandiperolehhasilsbb:

 

Hasilperhitungandgnpendekatanbedatengahternyatalbhakuratdrpdpendekatanbedamaju (danjgdrpdbedamundur). Error utku(3.5) menjadi 2.43% dan error utk u(5) menjadi 1.68%.

Jikasayamenggunakan node yglbhbanyak, dalamartiansayamelakukanperhitunganyglbh detail, dengan 8 node misalnya. Dan tetapmenggunakanbedatengah, akandidapathasilsbb:

Sptygdiharapkanklohasilperhitungandgn node ygsemakinbanyakatauperhitungansemakin detail, makahasilnyaakanmendekatihasilanalitiknya. Error ygdiperolehutksetiap r di atassemuanya di bawah 0.5%.